Příčné postupné vlnění

U příčného postupného vlnění kmitají jednotlivé body v bodové řadě kolmo ke směru šíření vlnění. Přitom se mění postupně jejich výchylka u, nemění se však jejich vzdálenost od počátku, protože všechny body kmitají vždy v rovině kolmé k bodové řadě. Směr výchylky může být v této rovině různý.

Příčné postupné vlnění vysvětlíme na příkladu: Mějme tenký dlouhý, mírně napjatý provaz. Takový provaz můžeme považovat za bodovou řadu a polohu každé jeho částice určíme jedinou souřadnicí, totiž její vzdáleností od počátku. Položíme-li souřadnicový systém tak, aby osa x splývala s provazem, je souřadnice polohy částice provazu totožná se souřadnicí x. Nyní rozkmitáme jeden konec provazu tak, aby konal sinusově kmity, které mají kruhovou frekvenci w a amplitudu U a jsou kolmé ke směru šíření vlnění (kolmé ke směru šíření vlnění, kolmé ke směru provazu):

(01)

u_o značí, že jde o kmitání počátečního bodu provazu, který leží v počátku souřadnic (x = 0).

Na obr. 01 můžeme sledovat průběh vznikajícího vlnění. Počáteční bod se nejprve vychyluje z rovnovážné polohy směrem vzhůru, přitom pružnou silou (vazební silou), která působí mezi částicemi provazu, vychyluje též sousední částice. Výchylka sousedního bodu je však menší, než výchylka počátečního bodu, protože se může každý další bod vychylovat pouze tehdy, je-li předchozí bod již poněkud vychýlen. Takto se počnou postupně vychylovat i další body v řadě. Po čtvrtperiodě kmitu má počáteční bod maximální výchylku (obr. 01a), výchylky ostatních bodů jsou postupně menší, až počínaje bodem A další body již nejsou vychýleny. Vlnění se za tuto dobu rozšířilo z bodu O do bodu A a urazilo dráhu OA. Ve druhé čtvrtperiodě klesá počáteční hod zpět k rovnovážné poloze. Následující body nedosáhly však dosud maximální výchylky a proto nejprve dojdou do krajní polohy a pak se teprve počnou vracet s určitým zpožděním. Na konci druhé čtvrtperiody (obr 01b) je počáteční bod opět v rovnovážné poloze a vlnění se rozšířilo až do bodu B. Ve

Obr.01 Vznik příčného postupného vlnění.

druhé půlperiodě se počáteční bod pohybuje vlivem setrvačnosti na opačnou stranu od své rovnovážné polohy a ostatní body se pohybují postupně za ním. Situaci po třech čtvrtinách periody a po celé periodě kmitání počátečního bodu ukazují obr. 01c a 01d. Vlnění se za tuto dobu rozšířilo od bodu C resp. D. V dalších periodách se popsaný průběh opakuje, vlnění však zasahuje postupně další a další body v řadě za bodem D.

Popsané vlnění je postupné, protože se šíří (postupuje ve směru řady bodové, a příčné, protože každý bod řady kmitá kolmo (napříč ke směru šíření vlnění. Z obr. 01 a jeho popisu plynou důležité závěry. Především vidíme, že se vlnění šíří rovnoměrně stálou rychlostí c. Tato rychlost závisí pouze na velikostí sil, jimiž jsou vázány části bodové řady, tedy na vlastnostech bodové řady (prostředí a nikoliv na průběhu a kmitočtu vlnění. Rychlost šíření vlnění je proto pro danou bodovou řadu konstantní. Příčné postupné vlnění řady bodové vytváří vlny. Tyto vlny mají v prostoru tvar sinusovek, obrácených ve srovnání s časovým průběhem kmitů, což je patrné z obr. 01 a zdůvodněno rovnicí 05 a šíří se po bodové řadě rychlostí c. Za dobu jednoho kmitu se na bodové řadě vytvoří jedna vlna, na obr. 01 je to úsek OD. Každá vlna má vždy vrch (kladný extrém) a důl (záporný extrém). Délka OD je současně drahou, kterou proběhne vlnění za dobu jedné periody, je charakteristickou veličinou pro vlnění a nazýváme ji vlnová dálka d. Z toho, co bylo uvedeno, plyne pro ni výraz

(02)

kde T je doba jednoho kmitu počátečního bodu bodové řady, nebo stručně doba kmitu vlnění. Dosadíme-li za dobu kmitu T převrácenou hodnotu kmitočtu, obdržíme důležitý vztah mezi kmitočtem, vlnovou délkou a rychlostí šíření vlnění:

(03)

Z obr. 01 plyne další důležitý důsledek. Jak jsme viděli, koná každý bod řady stejný kmitavý pohyb (kmitání každého bodu má stejný průběh a rozkmit). Čím je však uvažovaný bod dále od počátku, tím později k němu dojde rozruch, který se šíří z počátečního bodu. Bod, jehož souřadnice je x, bude proto kmitat vůči počátku s časovým zpožděním t rovným době, které potřebuje vlnění k proběhnutí dráhy x, tedy

Tomu odpovídá fázové zpoždění

.

Skutečnost, že body, které leží ve směru šíření vlnění, kmitají s fázovým zpožděním proti počátečnímu bodu, je hlavním znakem postupného ulpění.

Průběh kmitání počátečního bodu je v našem případě dán rovnicí 01. Průběh kmitání u_x bodu, jehož souřadnice je x, je stejný, je však opožděn ve fázi o fázový úhel j . Abychom dostali z rovnice 01 průběh u_x, musíme v argumentu odečíst fázový úhel j :

(04)

Záporné znaménko u fázového úhlu vyplývá již z naší úvahy o kmitání. Rovnice (04) vyjadřuje skutečnost, že průběh i amplituda kmitání všech bodů na řadě bodové jsou stejné, fázové zpoždění je úměrné vzdálenosti uvažovaného bodu od počátku. Chceme-li zjistit konkrétní průběh kmitání určitého bodu v řadě i s jeho fází, dosadíme do této rovnice příslušnou souřadnici x.

Rovnice (04) však též umožňuje stanovit rozložení vln na bodové řadě v určitém okamžiku. Dosazením doby t = t₁ obdržíme rozložení vln na řadě bodové ve tvaru funkce u(x):

(05)

Ze záporného znaménka u členu w x/c vyplývá, že má vlna tvar obrácené sinusovky ve srovnání s časovým rozvinutím kmitů (v souřadnicích u, t). V každém dalším okamžiku bude průběh vln posunut o malý úsek ve směru šíření vlnění. Musíme si uvědomit, že průběh vlnění závisí jednak na čase, jednak na poloze bodů v řadě, a proto je rovnice (04) rovnicí o dvou nezávisle proměnných x a t.

Tato rovnice popisuje postupné vlnění, které se šíří v kladném smyslu osy x. Někdy musíme napsat též rovnici pro vlnění, které se šíří opačně, tj. v záporném smyslu osy x. Z fyzikálního hlediska není mezi oběma případy rozdílu; znamená to jen změnu orientace osy x a ta se projeví změnou znaménka u členu w x/c:

(06)

Příčné postupné vlnění je charakterizováno kromě rychlosti šíření, kmitočtu a vlnové délky ještě směrem kmitání. Směrem kmitání rozumíme směr, ve kterém se body v řadě, vychylují z rovnovážné polohy. Až dosud jsme mlčky předpokládali, že mají všechny body stejný směr kmitání. Takové příčné vlnění, při němž všechny body kmitají stejným směrem, nazýváme lineárně polarizované vlnění. U lineárně polarizovaného příčného vlnění leží všechny výchylky v jedné rovině, která je určena směrem šíření a směrem kmitání. Rovina nemá zvláštní název, můžeme jí však říkat rovina kmitů. V praxi někdy hovoříme též o tak zvané polarizační rovině, kterou rozumíme rovinu kolmou na rovinu kmitů (viz obr. 02).